'문제 제기 하다'
'문제(를) 제기하다'로 보고 '문제 제기하다'로 쓰면 바르지 않은 건가요?

'상시 감시 하다'
'상시(로) 감시하다'도 마찬가지로 '상시 감시하다'로 쓰면 바르지 않은 건가요?

'문제 제기하다'는 바른 표현이므로 그대로 씁니다.

다만 '상시'는 부사가 아닌 명사이므로, '상시로 감시하다'나 '상시 감시를 하다'처럼 쓰는 것이 바릅니다.