어법상 가장 적절한 문장은 말씀하신 대로 3번 문장입니다.

'가능한'은 관형형으로 뒤의 체언을 꾸며주는데 '가능한 참가'라고 쓰면 의미가 이상해집니다.

이에 반해 '가능한 한'은 체언도 꾸미지만 일반적으로 뒤에 동사가 올 때 자연스럽습니다. '참가하다'는 동사이므로 앞에는 '가능한 범위 안에서'의 뜻인 '가능한 한'이 오는 것이 바릅니다.

바른한글에서 4번도 맞다고 한 것은 오류입니다. '가능한 한 참가(를) 하고 싶군.'도 뜻은 통하지만 '참가하다'는 하나의 동사이므로 붙여 쓰는 것이 더 자연스럽습니다.