1) 가능한 참가하고 싶군.
2) 가능한 참가 하고 싶군.
3) 가능한 한 참가하고 싶군.
4) 가능한 한 참가 하고 싶군.

a. '참가하다'가 하나의 동사이므로 '참가하고'로 붙여 쓴다.

b. '가능한'은 '가능하다'의 관형사형이므로 뒤에 체언이 붙어야 한다. 따라서 의존 명사 '한'을 붙여 '가능한 한'으로 표기한다.

여러 글과 답변을 참고하고 a, b와 같은 결론을 내려 3번이 정답이라고 생각했는데요, 맞춤법 검사기는 4번 또한 옳다고 합니다.

따라서 위의 4가지 문장들 중 무엇이 옳고 그른 것인지, 그 이유는 무엇인지 자세히 알고 싶습니다.

어법상 가장 적절한 문장은 말씀하신 대로 3번 문장입니다.

'가능한'은 관형형으로 뒤의 체언을 꾸며주는데 '가능한 참가'라고 쓰면 의미가 이상해집니다.

이에 반해 '가능한 한'은 체언도 꾸미지만 일반적으로 뒤에 동사가 올 때 자연스럽습니다. '참가하다'는 동사이므로 앞에는 '가능한 범위 안에서'의 뜻인 '가능한 한'이 오는 것이 바릅니다.

바른한글에서 4번도 맞다고 한 것은 오류입니다. '가능한 한 참가(를) 하고 싶군.'도 뜻은 통하지만 '참가하다'는 하나의 동사이므로 붙여 쓰는 것이 더 자연스럽습니다.