어떤 사람은 “한 번만 해보자”라고 했고, 또 어떤 사람은 “올해는 조명이 더 좋아졌다”라고 말하기 시작했다.

‘라고 말하기 시작했다.’는 어색하게 쓰였는지요?

앞에 '-라고 했고'가 나오므로 뒤에는 '-라고 말했다.' 정도로 고치는 것이 호응 면에서 적절합니다.