'울컥'은 '치밀어 오르는 상태'를 뜻하는 부사어인데, '밀려오다'는 서서히 다가오는 이미지이므로 어울리지 않습니다.

의미에 따라 '울컥 치밀어 오르기 시작했다.'나 '슬금슬금 밀려오기 시작했다.' 정도로 고치는 것이 적절합니다.