'되풀이하다'에 '여러 번'의 뜻이 있으므로 겹말입니다.

'-었더랬다'는 '-었더라고 했다.'의 준말이므로 쓸 수는 있으나, 일인칭인 '나'가 '읽었더랬다'라고 쓰는 것은 어색한 표현입니다. 다듬으면 다음과 같습니다.

그해 여름 나는 지정된 책들을 되풀이해 읽었다.