[그 사람은 "고맙다"는 말도 하지 않았다.]

쌍따옴표를 쓰는 것이 맞는지요?

직접 인용한 말이라면 큰따옴표(" ")를 쓰고 조사는 '라는'을 씁니다.

만약 '고맙다'라는 말을 강조한 것이라면 작은따옴표(' ')를 쓰면 됩니다.