'운을 떼다'는 관용적인 표현으로 '어떤 이야기를 하기 위하여 말을 하기 시작하다.'의 뜻입니다.

본디 다른 사람이 내놓은 운에 맞추어 시를 지을 때 운을 내놓는 것을 이르던 말이, 이야기의 첫머리를 시작하는 것을 뜻하게 되었습니다.

따라서 '운을 떼다'가 가장 정확한 표현이지만, 현실적으로는 '띄우다'를 비유적으로 확장해 '운을 띄우다'를 쓰기도 합니다. 둘 다 바른 표현입니다.