'-는지'는 주로 의문을 포함한 부사절을 만들 때 사용되고, 확실하지 않은 사실이나 추측, 의문, 간접적인 질문을 나타낼 때 쓰입니다.

'-는가'는 직접적인 의문문에서 사용되기도 하지만 명사절을 만들 때도 쓰입니다. 다만 '-는지'보다 더 공식적이거나 문어적인 느낌이 강합니다.

결론적으로, 두 문장 모두 문법적으로 바르고 의미도 크게 다르지 않지만, '-는지'가 더 일반적이고 자연스러운 표현입니다.