이해하시는 바가 맞습니다.

'갖다'는 '가지다'의 준말로 '갖는'으로만 활용할 수 있습니다. 나머지는 원말인 '가지다'에서 활용하여 '가진', '가져서'로 써야 바릅니다. '아이를 가진', '아이를 가져서'로만 써야 합니다.

'얼음을 갈다'에서 '갈다'의 활용형은 '간'이므로, '간 얼음'이 바릅니다.